Wzory skróconego mnożenia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy:

Wzory skróconego mnożenia – zestaw tożsamości algebraicznych zawierających wyrażenia takie jak:

  • potęgi skończonych sum i różnic: ;
  • sumy i różnice potęg:

gdzie wykładnik jest liczbą naturalną. Najprostsze przykłady to te dla wykładnika dwa[1]:

  • kwadrat sumy i różnicy:
  • różnica kwadratów:

Wzory te zachodzą dla dowolnych liczb rzeczywistych, zespolonych i wszystkich innych pierścieni przemiennych[potrzebny przypis], ponieważ wynikają z podstawowych własności działań jak przemienność, łączność i rozdzielność. Wzory skróconego mnożenia stosuje się w arytmetyce, algebrze i analizie; przykłady ich użycia to[2]:

Wzory te są standardowym elementem wykształcenia matematycznego na poziomie średnim; przykładowo znalazły się one w podstawie programowej polskich liceów i techników, także w zakresie podstawowym[7].

Wykładnik dwa – wzory z kwadratami[edytuj | edytuj kod]

Kwadraty sum i różnic[edytuj | edytuj kod]

Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy trzech liczb rzeczywistych

Dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi[8][1]:

Przykłady zastosowań arytmetycznych – obliczanie[2][9]:

Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech[5]:

Wzór ten można stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Po prawej stronie wzoru wystąpią wtedy kwadraty każdego ze składników w nawiasie oraz podwojone iloczyny każdej pary tych składników[potrzebny przypis]:

Różnice można przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku, np.

Wzory te mają także uogólnienie w przestrzeniach unitarnych, zwane tożsamością polaryzacyjną.

Różnice kwadratów[edytuj | edytuj kod]

Graficzne uzasadnienie wzoru na różnicę kwadratów dwóch liczb rzeczywistych:

Różnica kwadratów dwóch liczb to iloczyn sumy tych liczb i ich różnicy[1][8]:

Przykład zastosowania arytmetycznego – usuwanie niewymierności z mianownika[2]:

Sumy kwadratów[edytuj | edytuj kod]

Analogiczna suma nie rozkłada się na wyrażenia rzeczywiste, jednak można rozłożyć ją na iloczyn liczb zespolonych[potrzebny przypis]:

gdzie to jednostka urojona.

Wykładnik trzy – wzory z sześcianami[edytuj | edytuj kod]

Graficzne uzasadnienie wzoru na sześcian sumy

Sześcian sumy i różnicy[8][1]:

Suma i różnica sześcianów[8][1]:

Przykład zastosowania arytmetycznego – usuwanie niewymierności z mianownika[10]:

Wyższe wykładniki[edytuj | edytuj kod]

Różnica czwartych potęg[11]:

Tożsamość Sophie Germain[potrzebny przypis]:

Suma piątych potęg:

Różnica piątych potęg:

Wzory ogólne[edytuj | edytuj kod]

Potęgi sum i różnic[edytuj | edytuj kod]

Potęga naturalna sumy dwóch składników to szczególny przypadek dwumianu Newtona[11]:

Potęga naturalna sumy dowolnej skończonej liczby składników to[potrzebny przypis]:

gdzie

Sumy i różnice potęg[edytuj | edytuj kod]

Różnica dwóch potęg tego samego stopnia naturalnego to[11]:

Oprócz tego[potrzebny przypis]:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d e skróconego mnożenia wzory, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-12-07].
  2. a b c publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Paweł Kwiatkowski i Witold Sadowski, Wzory skróconego mnożenia. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-07].
  3. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Szymon Charzyński, Rozpoznawanie kwadratu dwumianu w trójmianie kwadratowym, kanał Khan Academy na YouTube, 26 kwietnia 2016 [dostęp 2023-12-08].
  4. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-09].
  5. a b publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Justyna Cybulska, Wzory skróconego mnożenia na deser. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-08].
  6. Krysicki i Włodarski 1994 ↓, s. 32.
  7. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Podstawa programowa kształcenia ogólnego z komentarzem. Szkoła ponadpodstawowa: liceum ogólnokształcące, technikum oraz branżowa szkoła I i II stopnia, matematyka, Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl, s. 15 [dostęp 2023-12-08].
  8. a b c d Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0.
  9. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Justyna Cybulska, Wzory skróconego mnożenia na deser. Zadania, zadania generatorowe, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-08].
  10. Nowa Era 2020 ↓, s. 67.
  11. a b c publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Wzory skróconego mnożenia, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 14 września 2018 [dostęp 2023-12-08].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]