Odległość punktu od prostej

Ilustracja wyprowadzenia wyrażenia wektorowego

Odległość punktu (P) od prostej (k) jest to najmniejsza spośród odległości pomiędzy punktem P i punktami prostej k. Odległością tą jest długość odcinka prostej prostopadłej do k, którego końcami są punkt P i przecięcie z prostą k.

Płaszczyzna kartezjańska

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych: jeżeli punkt P ma współrzędne $(x_{P},y_{P}),$ a prosta k dana jest równaniem ogólnym $Ax+By+C=0,$ to odległość $d(P,k)$ punktu P od prostej k wyrażona jest wzorem:

$d(P,k)={\frac {|A\,x_{P}+B\,y_{P}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

Prostą można ogólnie przedstawić wektorowo jako zbiór punktów

${\vec {x}}={\vec {a}}+t{\vec {n}},$

gdzie wektor a jest ustalonym punktem prostej, zaś n jej wersorem (jednostkowym wektorem kierunkowym). Rzeczywisty parametr t określa odległość, o jaką punkt x jest przesunięty od a w kierunku n.

Odległość dowolnego punktu p od tej prostej wyraża się przez

$\|({\vec {a}}-{\vec {p}})-(({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}\|.$

Wzór ten stosuje się w dowolnej liczbie wymiarów. Skonstruowany został geometrycznie następująco: ${\vec {a}}-{\vec {p}}$ jest wektorem od danego punktu p do punktu a na prostej. Zatem $({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}$ jest długością rzutu tego wektora na daną prostą (kropka reprezentuje tu iloczyn skalarny wektorów) i wobec tego

$(({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}$

jest wektorem – rzutem wektora ${\vec {a}}-{\vec {p}}$ na prostą. Stąd wektor

$({\vec {a}}-{\vec {p}})-(({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}$

jest składową wektora ${\vec {a}}-{\vec {p}}$ prostopadłą do danej prostej, a jego norma szukaną odległością.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Point-Line Distance--2-Dimensional, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-17].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Point-Line Distance--3-Dimensional, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-17].